2020実践数学重要問題集(理系)47(1)(熊本大学医学部2011年前期試験大問1)別解

考え方

因数分解して隣り合う整数の積 + 隣り合う整数の積の形にする。

解法

x5 – x
= x ( x4 – 1 )
= x ( x2 + 1 ) ( x2 – 1 )
= x ( x2 – 4 + 5 ) ( x + 1 ) ( x – 1 )
= x { ( x – 2 ) ( x + 2 ) + 5 } ( x + 1 ) ( x – 1 )
= ( x – 2 ) ( x – 1 ) x ( x + 1 ) ( x + 2 )
+ 5 ( x – 1 ) x ( x + 1 )

このとき、
A = ( x – 2 ) ( x – 1 ) x ( x + 1 ) ( x + 2 )、
B = 5 ( x – 1 ) x ( x + 1 )
とすると、

Aは x と x + 1 のどちらかが2の倍数、
x – 1 、x 、x + 1のどれかが3の倍数、
x – 2 、x – 1 、 x 、x + 1 、 x + 2 のどれかが5の倍数なので、30の倍数である。

Bはx と x + 1 のどちらかが2の倍数、
x – 1 、x 、x + 1のどれかが3の倍数なので同様に30の倍数である。

したがって、A + B は30の倍数であり、 x5 – x も30の倍数であることが示された。

リンク

熊本大学医学部2011年前期試験