2020実践数学重要問題集（理系）47(1)（熊本大学医学部2011年前期試験大問1）別解

2021年3月8日2023年7月30日

考え方

因数分解して隣り合う整数の積 + 隣り合う整数の積の形にする。

解法

x⁵ - x
= x ( x⁴ - 1 )
= x ( x² + 1 ) ( x² - 1 )
= x ( x² - 4 + 5 ) ( x + 1 ) ( x - 1 )
= x { ( x - 2 ) ( x + 2 ) + 5 } ( x + 1 ) ( x - 1 )
= ( x - 2 ) ( x - 1 ) x ( x + 1 ) ( x + 2 )
+ 5 ( x - 1 ) x ( x + 1 )

このとき、
A = ( x - 2 ) ( x - 1 ) x ( x + 1 ) ( x + 2 )、
B = 5 ( x - 1 ) x ( x + 1 )
とすると、

Aは x と x + 1 のどちらかが2の倍数、
x - 1 、x 、x + 1のどれかが3の倍数、
x - 2 、x - 1 、 x 、x + 1 、 x + 2 のどれかが5の倍数なので、30の倍数である。

Bはx と x + 1 のどちらかが2の倍数、
x - 1 、x 、x + 1のどれかが3の倍数なので同様に30の倍数である。

したがって、A + B は30の倍数であり、 x⁵ - x も30の倍数であることが示された。

リンク

熊本大学医学部2011年前期試験

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