2020実践数学重要問題集(理系)61(東京工業大学理系2017年前期試験大問1)別解

考え方

最初に、
(B)から12より小さい約数でわからないものは一つしかないことがわかる。
次に、
総当たりで任意の約数があると仮定し、
それぞれの約数を持つ場合で12より上の約数が何個あるかを考える。
最後に、
(A)の条件より12個しか約数のない数字を見つける。

解法

(B)の条件より12を約数に持つため、以下の数字が約数になる。
1,2,3,4,6,12

(B)の条件より12より小さい6つの約数が必要であるため、
5,7,8,9,10,11のいづれか一つの数字も約数として存在するはずである。

[1]5を約数にもつとき
5 × 2の10も約数にもち不適。

[2]7を約数にもつとき
84の倍数であり、少なくとも14,21,28,42,84を約数にもつ。

[3]8を約数にもつとき
96の倍数であり、少なくとも16,24,32,48,96を約数にもつ。

[4]9を約数にもつとき
108の倍数であり、少なくとも18,27,36,54,108を約数にもつ。

[5]10を約数にもつとき
120の倍数であり、少なくとも15,20,30,40,60,120を約数にもつ。

[6]11を約数にもつとき
132の倍数であり、少なくとも22,33,44,66,132を約数にもつ。

[1]~[6]より、84,96,108,132であるとわかる。

リンク

東京工業大学理系2017年前期試験